व्यवहारी अपूर्णांक
1) व्यवहारी अपूर्णांकांत छेद म्हणजे वस्तूचे केलेले समान भाग आणि अंश म्हणजे त्यापैकी घेतलेले भाग.
उदाहरणार्थ : 2/5 मध्ये 2 हा अंश आणि 5 हा छेद आहे.
2) अंशाधिक अपूर्णांकात अंश हा छेदापेक्षा मोठा असतो, आणि अंशाधिक अपूर्णांकांची किंमत 1 पेक्षा मोठी असते.
उदाहरणार्थ : 7/5 = 1.4
3) छेदाधिक अपूर्णांकात छेद हा अंशापेक्षा मोठा असतो, आणि छेदाधिक अपूर्णांकाची किंमत 1 पेक्षा लहान असते.
उदाहरणार्थ : 3/5 =0.6
4) छेदाला व अंशाला एकाच संख्येने गुणल्यास वा भागल्यास येणारी संख्या त्या अपूर्णांकाचा सममूल्य अपूर्णांक येतो.
उदाहरणार्थ : 3/5 = 3×3/5×3 = 9/15 तसेच 25/35 = 25÷5/35÷5 =5/7
यात 3/5 व 9/15 या दोन्ही अपूर्णांकांची किंमत सारखीच (एकच) असते. त्याचप्रमाणे 25/35 व 5/7 यांची किंमत सममूल्य आहे.
5) व्यवहारी अपूर्णांकातील दिलेल्या धन अपूर्णांकाचे अंश समान असतील तर, ज्याचा अंश लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.
उदाहरणार्थ : 1/3 > ¼ > 1/5
6) व्यवहारी अपूर्णांकातील दिलेल्या धन अपूर्णांकांचे छेद समान असतील तर, ज्याचा अंश लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.
उदाहरणार्थ : 2/3 < 3/3 < 4/3 < 5/3
7) दिलेल्या छेदाधिक अपूर्णांकांतील अंश व छेद यांच्यात समान फरक असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.
उदाहणार्थ : 2/3 < ¾ < 6/5
8) दिलेल्या अंशाधिक अपूर्णांकांतील अंश व छेद यांच्यात समान फरक असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.
उदाहरणार्थ : 4/3 > 5/4 > 6/5
9) दिलेल्या अप्र्नांकांतील प्रत्येक अपूर्णांकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा एकाने कमी असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.
उदाहरणार्थ : 3/5 > 4/7 > 5/9
10) दिलेल्या अपूर्णांकांतील प्रत्येक अपूर्णांकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा एकाने जास्त असेल तर, ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक लहान असतो.
उदाहरणार्थ : 3/7 < 4/9 < 5/11
11) अपूर्णांकांचा उतरता क्रम (Decreasing/descending Order) – लावताना प्रथम दिलेल्या अपूर्णांकांपैकी सर्वात मोठा अपूर्णांक, त्यानंतर क्रमाने लहान अपूर्णांक लिहिणे.
12) अपूर्णांकांचा चढता क्रम (Increasing/Ascending Order)- लावताना प्रथम दिलेल्या अपूर्णाकांपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक, त्यानंतर मोठे अपूर्णांक लिहिणे.
पुढील व्यवहारी अपूर्णांकांचे दशांश अपूर्णांकांकातील रूपांतर तोंडपाठ पाहिजेच :-
1) ½ = 0.5
2) 1/3 = 0.33
3) ¼ = 0.25
4) 1/5 = 0.2
5) 2/3 = 0.66
6) ¾ = 0.75
7) 3/5 = 0.6
8) 4/5 = 0.8
9) 1/8 = 0.125
10) 3/8 = 0.375
11) 5/8 = 0.625
12) 7/8 = 0.875
नमूना पहिला :-
उदा.
6/7,3/4,4/5,2/3 यापैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता?
- 3/4
- 2/3
- 4/5
- 6/7
उत्तर : 2/3
क्लृप्ती :-
छेदाधिक अपूर्णाकात अंश व छेद यांच्यात 1 चा फरक अथवा समान फरक असेल तर; ज्यांचा अंश व छेद लहान त अपूर्णांक लहान आण ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक मोठा असतो. अंशाधिक अपूर्णांक असेल तर त्याच्या उलट नियम वापरा.
नमूना दूसरा :-
उदा.
खालीलपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता ?
- 7/2
- 16/5
- 19/6
- 22/7
उत्तर : 22/7
क्लृप्ती :-
वरील अपूर्णांकाचे पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकात रूपांतर केल्यास प्रत्येकाचा 3 पूर्णाक येतो व बाकी अनुक्रमे 1/2,1/5,1/6,1/7 उरते. अंश समान असल्यास ज्याचा छेद मोठा तो अपूर्णांक लहान व ज्याचा छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो; या नियमानुसार सोडवा.
नमूना तिसरा :-
उदा.
पुढीलपैकी सर्वात मोठा अपूर्णांक कोणता?
- 5/8
- 4/7
- 9/16
- 10/14
उत्तर : 10/14
ल्कृप्ती :-
5/8 व 9/16 यात 5/8 मोठा आणि 4/7 व 10/14 यात 10/14 मोठा, म्हणून 5/8 व 10/14 मोठा कारण 5×14×<8×10
नमूना चौथा :-
उदा.
¾, 2/3, 5/6,1/2,4/5 यांचा उतरता क्रम लावल्यास; बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?
- ½
- 4/5
- ¾
- यापैकी नाही
उत्तर : ¾
नियम :- छेदाधिक अपूर्णाकांत अंश व छेदात 1 चा फरक असून ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक मोठा असतो.
नमूना पाचवा :-
उदा.
¼, 1/3, 3/5, 7/8, 5/9 यांचा उतरता क्रम लावल्यास,बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?
- 1/3
- 3/5
- 7/8
- 5/9
उत्तर : 5/9
नियम :- दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर करून सोडवा.
उदा. 1/3= 0.33, 3/5=0.6, 7/8=087, 5/9=0.55, ¼= 0.25
नमूना सहावा :-
उदा.
पुढील अपूर्णांकांचा उतरता क्रम लावल्यास शेवटून दूसरा अपूर्णांक कोणता?
- 5/7
- 2/3
- 5/8
- 2/5
उत्तर : 5/8
नमूना सातवा :-
उदा.
पुढील अपूर्णांक चढत्या क्रमाने लावल्यास सुरुवातीपासून दूसरा अपूर्णांक कोणता?
- 2/5
- 4/7
- 7/11
- 3/5
उत्तर : 4/7
क्लृप्ती :-
2/5 <4/7 कारण 2×7<5×4 त्यानुसार 7/11 > 3/5, कारण 7×5>11×3.
:: 2/5 < 4/7 < 3/5 < 7/11 किंवा दशांश अपूर्णांकात रूपांतर करून घ्या.
नमूना आठवा :-
उदा.
पुढील अपूर्णांक उतरत्या क्रमाने लावल्यास, बरोबर मधला अपूर्णांक कोणता?
- 13/4
- 12/5
- 30/12
- 21/9
उत्तर : 30/12
स्पष्टीकरण :-
13/4= 3.25, 12/5= 2.40, 30/12= 2.50, 21/9= 2.33, 8/3= 2.66
नमूना नववा :-
उदा.
4/5 च्या 2/7 मध्ये किती मिळविल्यास; बेरीज 3/7 येईल?
- 2/5
- 1/5
- 6/35
- 14/35
उत्तर : 1/5
क्लृप्ती :-
4/5×2/7 = 8/35 3/7 – 8/35 = 15/35 – 8/35 = 7/35 = 1/5
नमूना दहावा :-
उदा.
5/7 व 11/14 या अपूर्णाकांच्या दरम्यान असलेला खालीलपैकी कोणता अपूर्णांक असेल?
- 6/7
- 16/21
- 4/7
- 18/21
उत्तर : 16/21
ल्कृप्ती :-
5/7 =10/14 व 11/14 यांच्या दरम्यान 16/21 येईल. पर्याय कट पद्धतीने सोडवावे. अथवा दरम्यानचा अपूर्णांक = 5+11/7+14= 16/21
नमूना अकरावा :-
उदा.
खालीलपैकी सर्वात लहान अपूर्णांक कोणता?
- 5/9
- 3/5
- 7/13
- 9/17
उत्तर : 9/17
ल्कृप्ती :-
दिलेल्या अपूर्णांकात प्रत्येक अपूर्णाकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा 1 ने कमी असेल तर ज्याचा अंश व छेद मोठा तो अपूर्णांक लहान आणि ज्याचा अंश व छेद लहान तो अपूर्णांक मोठा असतो.
नमूना बारावा :-
उदा.
3/7 मध्ये 3/7 किती वेळा मिळविल्यास, उत्तर 3 येईल?
- 6
- 14
- 13
- 7
उत्तर : 6
ल्कृप्ती :-
(बेरजेचे उत्तर /अंश ) × छेद -1) वेळा
:: [(3/3×7)-1] = 6 वेळा
नमूना तेरावा :-
उदा.
एका संख्येच्या 3/5 च्या 2/3 मध्ये 15 मिळवल्यास ती संख्या मिळते, तर ती संख्या कोणती?
- 20
- 25
- 15
- 45
उत्तर : 25
स्पष्टीकरण :-
ती संख्या × मानू.
:: 3/5 X ×2/3+15= X
:: 2/5X +15= X,
:: X-2/5X=15
:: 3/5X=15, यावरून X=25