गुणोत्तर व प्रमाण यांच्या विषयी संपूर्ण माहिती
- दोन किवा त्यापेक्षा अधिक सजातीय राशींची केलेली तुलना म्हणजे गुणोत्तर होय.
- ज्या राशींचे गुणोत्तर काढायचे त्यांची एकके समान करून घ्यावीत.
- गुणोत्तर हा समान एकके असलेल्या राशींचा भागाकार असतो म्हणून त्यास एकके नसतात.
- A व B या दोन संख्यामध्ये A चे B शी असलेले गुणोत्तर A/B किंवा A:B जसे.
- तसेच B चे A शी असलेले गुणोत्तर B/A किंवा B:A
Ex. 50cm चे 2m शी गुणोत्तर
2m = 2*100 = 200
५०/२०० = १/४ = १:४
A,B,C,D ह्या चार संख्या A:B=C:D अशा पद्धतीने असतील म्हणजे त्या चार संख्या A/B = C/D प्रमाणात असतात.
- संगीत स्केलची पाचवी नोंदहिघेतला आणि शेवटची संख्या यांना अंत्यपद म्हणतात.
- आणि मधल्या दोन संख्यांना मध्यपदे म्हणतात.
- (Note: अंत्यपदांचा गुणाकार=मध्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
- उदा. २,४,६,१२
२/४ = ६/२
१/२ = ३/१
जर तीन संख्या A, B, C या प्रमाणात असतील, तर त्या तीन संख्या A/B = B/C = B2=AC
(Note: मध्यपदाचा वर्ग=अंत्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
ex. m,100,250 ह्या प्रमाणात आहेत तर m=?
(१००)2=m*250
1000=250*मी
m=1000/250=40
दोन संख्यांची बेरीज A असते व वजाबाकी B असते तेव्हा त्या दोन संख्येचे एकमेकांशी गुणोत्तर
A+B/AB
अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :
गुणोत्तर म्हणजे भागाकर असतो त्यामुळे अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना पहिला अपूर्णाक तसाच ठेवून दुसर्‍या अंकाचा गुणाकार व्यस्त घ्यावा व गुणाकार करावा.
ex.2/3 चे 5/7
2/3*7/5 = 14/15
दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :
दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना त्या संख्येमध्ये दशांश चिन्हानंतर समान अंक करून घ्यावे आणि मग दशांश चिन्ह काढून मग संक्षिप्त रूप द्यावे.
ex. 0.25 चे 0.3
२५ / ३० = ५:६
दोन समभुज त्रिकोणाच्या बाजू/दोन चौरसाच्या बाजू/दोन वर्तुळाच्या त्रिज्या यांचे प्रमाण A:B असेल तर त्यांच्या क्षेत्रफळाचे प्रमाण A2: B2असते.
- ex. समभुज त्रिकोणाच्या बाजू = 4:5
क्षेत्रफळाचे प्रमाण (4)2:(५)2 =16:25
दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण/दोन गोलांच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर तर त्यांच्या घनफळाचे गुणोत्तर A3:B3
ex. दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण 6:7
घनांचे प्रमाण (6)3: (७)3 = 36:49
उदाहरणे :
प्रथम नमुना –
उदा. 9/15=x/70; ∶: x=?
उत्तर: ४२
नियम :-
a/b=c/d स्तर ad×bc
उदा.दिल्याप्रमाणे 9/15=X70=15x=9×70 ;
∶: x =9×70/15=42 किंवा
∷9/15=x/70
३×१४/५×१४= ४२/७०
(3:5 या प्रमाणात अंश व छेद आहेत)
नमुना दुसरा –
उदा. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर 4:5 आहे, तर त्यांच्या परिघांचे गुणोत्तर किती?
उत्तर: ४:५
स्पष्टीकरण :-
(परिघांचे गुणोत्तर=त्रिज्यांचे गुणोत्तर)
नमूना तिसरा –
उदा. एका त्रिकोणाच्या बाहयकोनांच्या मापांचे गुणोत्तर 3:7:8 आहे.; तर त्या त्रिकोणाच्या आंतर कोनांपैकी सर्वात मोठा कोन किती मापाचा असेल?
उत्तर: 1200
स्पष्टीकरण :-
त्रिकोणाच्या बाह्य कोनांची बेरीज = 3600. सूत्रांनुसार 3+7+8=18 भाग = 3600
:: 1 भाग = 200, लहान बाह्यकोनाचा आंतरकोन मोठा असतो.
लहान बाहयकोन = 3×20=600
मोठा आंतरकोन = 180-60 = 1200
नमुना चौथा –
उदा. विनू व सदू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 5:3 आहे, सदू व मधु यांच्या वयांचे गुणोत्तर 4:7 आहे, तर विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तरकिती?
उत्तर: 20:21
क्लृप्ती :-
विनू सदू मधू
५ ३
४ ७
विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 20:21
२० : १२ : २१
नमूना पाचवा –
उदा. पाच लीटरच्या 40% अल्कोहोल असलेल्या द्रवणात 3 लीटर पाणी मिसळविल्यास नवीन द्रवणातील अल्कोहोलचे प्रमाण किती टक्के होईल?
उत्तर: 25%
स्पष्टीकरण :
5 लीटरचे 40% = 5+3=8 लीटरचे किती टक्के?
5 चे 40%= 8 चे x%
x% = ५×४०/८
= 5×5
= 25%
नमूना सहावा –
उदा. पाच लीटर औषधी द्रावणात 6% अल्कोहोल असलेले किती लीटर द्रावण मिळवावे, म्हणजे नवीन द्रावणातील अल्कोहोलचे प्रमाण 2% होईल?
- 3 लिटर
- 2.5 लिटर
- 3.5 लिटर
- 4 लिटर
उत्तर: 2.5 लिटर.
स्पष्टीकरण :-
अल्कोहोल असलेले द्रावण x लीटर मानू.
:: x चे 6%= 5 + x चे 2%
:: 6×x/100= (5+x)×2/100
6x = (5+x) × 2
:: 6x=10+2x
:: ४x = १०
:: x =10/4
= 2.5 लिटर
नमुना सातवा –
उदा. 12 मिनिटांचे 36 सेकंदाशी गुणोत्तर किती?
उत्तर: 20:1
स्पष्टीकरण :-
12 मिनिटे = 12×60
= 720 सेकंद
:: ७२०:३६ = २०:१
नमूना आठवा –
उदा. 12: x : 27 या तिन्ही संख्या प्रमाणात आहेत, तर x=किती?
उत्तर: १८
